Définition du produit salaire

Définition

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan et \(\text A,\text B,\text C\) trois points tels que \(\vec{u}=\vec{\text A\text B}\) et   \(\vec{v}=\vec{\text A\text C}\) .

Le produit scalaire des vecteurs  \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) , noté  \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}\) , est le nombre réel défini par :

• si   \(\vec{u}\ne \vec{0}\) et \(\vec{v}\ne \vec{0}\) ,    \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}=\lVert \vec{u} \rVert\times \lVert \vec{v} \rVert\times \cos(\vec{u};\vec{v})=\text A\text B\times \text A\text C\times \cos(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})\)  ;
  
• si  \(\vec{u} = \vec{0}\) ou \(\vec{v} = \vec{0}\) ,       \(\vec{u} \cdot{} \vec{v}=0\) .
  

Exemple

Soit \(\text A,\text B\) et \(\text C\) trois points distincts tels que \(\text A\text B=5, \text A\text C=3, (\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})= \dfrac{\pi}{3}\) .

On a \(\vec{\text A\text B} \cdot{} \vec{\text A\text C}=\lVert \vec{\text A\text B} \rVert\times \lVert \vec{\text A\text C} \rVert\times \cos(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})=5\times 3\times \cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{15}{2}\) .